[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Nikt w owym czasie nie wydawał się wątpić, że taka procedura istnieje, jakkolwiek praktyczne jej podanie mogło nastręczać trudności.Niemniej jednak można sobie było wyobrazić, że jakiś pojedynczy człowiek lub grupa ludzi jest w stanie zweryfikować każdą matematyczną hipotezę poprzez ślepe wykonywanie ustalonego ciągu operacji aż do skutku.W istocie, można by się obyć nawet bez ludzi, gdyż taką procedurę dałoby się zautomatyzować i cały ciąg operacji realizowany byłby przez maszynę, która po jego zakończeniu drukowałaby otrzymany wynik - „prawda” lub „fałsz”.Widziana w ten sposób matematyka staje się dyscypliną całkowicie formalną, czymś w rodzaju gry polegającej na manipulowaniu symbolami według wcześniej ustalonych reguł i znajdowaniu związków tautologicznych.Nie potrzebuje ona żadnych odniesień do świata fizycznego.Prześledźmy to na przykładzie.Gdy wykonujemy działanie matematyczne, takie jak (5 x 8) 6 = 34, postępując według prostych reguł otrzymujemy wynik 34.Aby otrzymać prawidłowy wynik, nie musimy rozumieć samych reguł, ani wiedzieć, skąd się one wzięły.W istocie, nie musimy nawet wiedzieć, co symbole, którymi się posługujemy, takie jak 5 czy xs naprawdę znaczą.Jeśli tylko rozróżniamy poszczególne symbole i trzymamy się reguł, otrzymamy prawidłowy wynik.Fakt, że obliczenie możemy przeprowadzić na kieszonkowym kalkulatorze, świadczy o tym, iż procedura ta da się wykonać całkowicie na ślepo.Kiedy dzieci zaczynają naukę arytmetyki, potrzebują odnosić poznawane symbole do konkretnych obiektów otaczającego ich świata, więc początkowo liczą na palcach lub liczydłach.W późniejszych latach jednak dzieci na ogół potrafią już przeprowadzać operacje matematyczne w sposób całkowicie abstrakcyjny, do tego stopnia, że używają x i y zamiast konkretnych liczb.Ci, którzy podejmują naukę na wyższym poziomie, poznają inne rodzaje liczb (np.zespolone) i działań matematycznych (np.mnożenie macierzy), które w żaden oczywisty sposób nie wiążą się z tym, co znamy z rzeczywistego świata.Mimo to studenci bez trudu uczą się manipulowania abstrakcyjnymi symbolami oznaczającymi te niezwyczajne obiekty i działania, nie zastanawiając się nawet nad tym, co one naprawdę, jeśli w ogóle, znaczą.W ten sposób matematyka w coraz większym stopniu staje się czysto formalnym manipulowaniem symbolami.Może się wręcz wydawać, że matematyka to nic innego, jak manipulowanie symbolami.Taki pogląd zwany jest „formalizmem”.Mimo jej pozornej możliwości formalistycznej interpretacji matematyki został zadany w 1931 roku poważny cios.Tego roku austriacki logik i matematyk Kurt Godeł dowiódł zdumiewającego twierdzenia, że w matematyce istnieją zdania, których prawdziwości lub fałszywości nie da się udowodnić poprzez żadną systematyczną procedurę.Było to zaiste twierdzenie nie do przejścia, ponieważ wykazywało nieodwołalnie, że czegoś w matematyce naprawdę nie da się zrobić, nawet w zasadzie.Fakt, że w matematyce istnieją zdania nierozstrzygalne, stanowił wielki szok, gdyż wydawał się podważać całe logiczne podstawy tej dyscypliny.Twierdzenie Godła wpisuje się w całą konstelację paradoksów związanych z pojęciem samoreferencji.Jako proste wprowadzenie w tę zawikłaną tematykę rozważmy niepokojące zdanie: „To zdanie jest kłamstwem”.Jeżeli wypowiedź ta jest prawdziwa, to jest ona fałszywa; a jeżeli jest fałszywa, to jest prawdziwa.Takich paradoksalnych wypowiedzi odnoszących się do samych siebie można z łatwością przytoczyć wiele; są one niezwykle intrygujące i zastanawiały ludzi od stuleci.Na przykład w średniowieczu formułowano tę antynomię w następujący sposób:Sokrates: „To, co Platon zaraz powie, jest kłamstwem”.Platon: „Sokrates właśnie powiedział prawdę”.Wielki matematyk i filozof Bertrand Russel wykazał, że istnienie tego typu paradoksów uderza w samą istotę logiki i podważa wszelkie uczciwe próby oparcia matematyki w sposób ścisły na podstawach logicznych.Godeł poszedł jeszcze dalej i w niezwykle genialny sposób zastosował samozwrotność w oniesieniu do całej matematyki, rozważając związki między opisem matematyki a samą matematyką.Jest to łatwo powiedzieć, lecz w rzeczywistości rozumowanie Godła było długie i bardzo zawiłe.Aby wyrobić sobie jednak pojęcie, na czym ono polegało, wyobraźmy sobie, że wypisujemy zdania matematyczne opatrując je kolejnymi liczbami naturalnymi: l, 2, 3,.Tworzeniu ciągu zdań stanowiącego twierdzenie matematyczne odpowiadałoby w takim przypadku połączenie przypisanych im liczb.W ten sposób operacjom logicznym przeprowadzanym na zdaniach matematyki odpowiadają działania samej matematyki.Stanowi to istotę samozwrotności, na której opiera się dowód twierdzenia Godła.Poprzez utożsamienie opisu z tym, co jest opisywane, tj.ustanowienie odpowiedniości zdań opisujących matematykę ze zdaniami samej matematyki, Godeł odkrył antynomialną pętlę typu russelowskiego, która w nieunikniony sposób prowadziła do istnienia zdań nierozstrzygalnych.John Barrow zauważył ironicznie, że jeśli przez religię rozumieć będziemy system myślowy wymagający wiary w niedowodliwe prawdy, to matematyka jest jedyną religią, która jest w stanie dowieść, iż jest religią!Aby wyjaśnić kluczową ideę, na której zasadza się twierdzenie Godła, posłużę się krótką historyjką.W pewnym dalekim kraju grupa matematyków, która nie słyszała nigdy o Godłu, doszła do wniosku, że możliwa jest jednak systematyczna procedura pozwalająca na nieomylne stwierdzenie prawdziwości lub fałszywości każdego sensownego zdania matematycznego, i zabrała się do wykazania tego.Procedura ta mogła być wykonywana przez człowieka, grupę łudzi, maszynę, czy też jakąkolwiek kombinację tych elementów.Nikt nie wiedział, na co zdecydowali się matematycy, gdyż ich system umieszczony był wewnątrz olbrzymiego budynku uniwersytetu przypominającego świątynię, do którego wejście osobom postronnym było wzbronione.W każdym razie system nazywał się Tom.By wypróbować możliwości Toma, wprowadzano do niego kolejno najróżniejsze skomplikowane zdania logiczne i matematyczne i po krótkiej chwili otrzymywano odpowiedź: prawda, prawda, fałsz, prawda, fałsz,.W krótkim czasie sława Toma rozeszła się po całym kraju.Do laboratorium zjeżdżało coraz więcej ludzi, którzy na wszelkie sposoby starali się wynaleźć problem na tyle trudny, aby zapędzić Toma w kozi róg.Nikomu się to nie udawało.Twórcy Toma nabrali takiego przekonania o jego nieomylności, że namówili króla, aby ufundował nagrodę dla tego, komu udałoby się pokonać Toma w jego niewiarygodnych zdolnościach analitycznych.Pewnego dnia na uniwersytecie zjawił się jakiś przybysz z innego kraju z dużą kopertą i poprosił, aby pozwolono mu zmierzyć się z Tomem o przyobiecaną nagrodę.Wewnątrz koperty była kartka papieru z wypisanym na niej zdaniem dla Toma.Zdanie to, które oznaczymy tutaj literą Z (od „zdanie”) brzmiało po prostu: „Tom nie może uznać tego zdania za prawdziwe”.Zdanie Z zostało jak zwykle przekazane Tomowi.Nie upłynęło kilka sekund, jak Tom zaczął się zachowywać dziwnie.Po pół minuty z budynku wybiegł ktoś z obsługi i oznajmił, że Toma trzeba było wyłączyć z przyczyn technicznych.Cóż takiego się stało? Załóżmy, że Tom miałby roztrzygnąć, iż Z jest prawdziwe.Oznaczałoby to, że zdanie „Tom nie może uznać tego zdania za prawdziwe” zostałoby sfalsyfikowane, ponieważ Tom to właśnie zrobił
[ Pobierz całość w formacie PDF ]