[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.sił zderzeniowych.Łatwozauważyć, że gdy wektor główny układu sił zewnętrznych jest równy zeru:W = 0,popęd tego wektora jest również równy zeru, a z zasady pędu i popędu wynika, iżpęd końcowy jest równy początkowemu:p(t) = p(0),czyli pęd układu materialnego jest stały:p = const.(7.50)Jest to zasada zachowania pędu:Jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na układ materialnyjest równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały.Gdypęd układu materialnego przedstawimy w postaci iloczynu masy mi prędkości vC środka masy, to z zasady zachowania pędu:m v = constCwynika, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.Przykład 7.7.Klocek o masie m = 40 kg porusza się po równi pochyłej o kącienachylenia α = 30o pod działaniem siły będącej funkcją czasu P = P(t)(rys.7.14a).Miara tej siły zmienia się w czasie od 0 do P1 = 250 N zgodnie zwykresem podanym na rys.7.14b.Współczynnik tarcia między klockiem i równią= 0 1,.Obliczyć prędkość v1, jaką osiągnie ciało w chwili t1 = 3 s, jeżeli w chwilit = 0 prędkość początkowa v = 10 m / s.0a)Nb) PP(t)xP1TGαtt1Rys.7.14.Wyznaczenie prędkości klockaRozwiązanie.Do rozwiązania zadania zastosujemy zasadę pędu i popędu (7.49).W myśl tej zasady przyrost pędu klocka w czasie od t = 0 do t = t1 będzie równypopędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na niego:tp(tp 0W dt.1 )1− ( ) = ∫0Wektory z tego równania zrzutujemy na oś x równoległą do równi.Pouwzględnieniu zależności (7.44) mamy:t1mv − mv = W dt.(a)1∫ xZgodnie z rysunkiem suma rzutów wszystkich sił działających na klocek na oś xW = P(t) −sinmgα − T = P(t) −sinmgα − mgµαcos , (b)xgdzie T = Nµ = mgµαcos.Po podstawieniu (b) do równania (a) mamy:tt11mv − mv = P(t)dt − mgα +α=1(sin µcos )dt∫∫(c)t1= P(t)dt − mg(sinα + µcosα)t.∫1Całka występująca w powyższym wzorze jest równa polu wykresuprzedstawionego na rys.7.14b, czylit11P(t)dt = P t∫.1 12Po podstawieniu tej równości do (c) otrzymujemy wzór na prędkość v1:P t1 1v = v +− g sinα + µcosα t.1() 12mPo podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:250 ⋅ 3v = 10 +−+=/.1(81,9sin30o30cos1,o )31,2 m s2 ⋅ 407.2.3.Twierdzenie o ruchu środka masyPęd p w wyprowadzonym w poprzednim punkcie równaniu (7.48),wyrażającym zasadę pędu, możemy przedstawić za pomocą iloczynu całkowitejmasy m układu materialnego i prędkości vC środka jego masy C.Otrzymamywówczas:d pd(m vC )d v== mC = W.(e)dtdtdtWystępująca w tym równaniu pochodna prędkości środka masy względem czasujest przyśpieszeniem środka masy.Mamy więc:am= W.(7.51)CPo zapisaniu wektorów aC i W w układzie współrzędnych x, y, z:a = a i+ a+j a k,CCxCyCz⎫⎬ (f)W = W i+ W +j W kxyy⎭wektorowe równanie (7.51) możemy przedstawić w postaci trzech równańskalarnych:ma= W ma,= W ma,= W.(7.52)CxxCyyCzzWektorowe równania (7.51) i równoważne mu trzy równania skalarne (7.52) sądynamicznymi równaniami ruchu środka masy.Pozwalają one na wyznaczenieruchu środka masy pod wpływem znanych sił zewnętrznych.Otrzymane równania(7.51) lub (7.52) pozwalają na sformułowanie twierdzenia, znanego pod nazwątwierdzenia o ruchu środka masy.Środek masy układu materialnego porusza się tak jak punkt materialny o masierównej całkowitej masie układu, na który działa siła równa wektorowi głównemusił zewnętrznych działających na ten układ
[ Pobierz całość w formacie PDF ]